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《人类科学技术史-365》抽象代数的兴起

地球生物与人类文明
2026-07-31 06:44·上海·会计师资格证持有者

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抽象代数的兴起

以群、环、域为中心的抽象代数学是现代数学的一个重要分支，对整个现代数学的发展起着重要的作用。

抽象代数源于群论的发展。19世纪的研究发现，代数所能研究的不仅是象实数、复数等对象构成的集合，还可以研究向量、矩阵、各种形式的超复数、变换、替换或置换等对象的集合。这些不同类型的对象是按照它们的运算特性互相区别的。群、环、域概念的引进便是为了识别各种集合。

对客观世界中具体的和抽象的对称性的研究产生了群的概念。最早出现的群是变换群，即指一些变换的集合。19世纪人们研究方程根的置换群、函数的变换群等，它们的元素都是具体变换。后来，它们的共同特征被抽象出来，又用符号代替具体变换，便逐渐形成了抽象群论的研究。20世纪初，群的抽象公理系统就已给出。之后，群论的研究沿着各个不同的方向展开，例如，群分解为单群、可解群的问题；找出给定阶的有限群的全体等。

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域论的创始人是伽罗华(1811-1832)。他的域是一种数的集合，如有理数域、实数域、复数域等。后来，在代数数域和代数函数域深入研究的基础上形成了代数数论和代数函数论。1910年，德国数学家施泰尼茨(1871-1928）发表的《域的代数理论》，奠定了域论的基础，成为抽象代数的一个重要里程碑。他提出素域的概念，定义了特征数为P的域，证明每个域可由其素域经添加而得。著名数学家希尔伯特曾对代数数域理论作过重要总结，并提出一些猜想。这些猜想后来陆续由创立类域论的日本数学家高木贞治(1875-1960)和奥地利数学家阿廷(1898-1962)所解决。

环论是抽象代数中最深刻的一个部分。而最显著地改变代数学面貌的分支则是交换环论中的理想论。

环和理想的抽象理论是20世纪才出现的。韦德伯恩(1882-1948)在《论超负数》一文中，研究了线性结合代数，这种代数实际上是环。

环和理想的系统理论是由女数学家爱米.诺特(1882-1935)给出的。这位伟大的女数学家，是抽象代数的奠基人，一般理想论的创立者。

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诺特出生于德国埃尔兰根的一个犹太人家庭，父亲马克思.诺特也是著名的数学家。1900年，诺特进入仅有2名女生的埃尔兰根大学。　1907年，获博士学位，论文题目是《三元双二次型不变量的完全系》。期间，她还到哥廷根大学听课，得到希尔伯特、闵科夫斯基(1864-1909)、克莱因(1845-1918）等数学大师的教导。

1916年，受希尔伯特和克莱因的邀请，诺特到哥廷根工作，帮助他们进行与广义相对论有关的研究。因为她通晓微分不变量理论，因此作了许多出色的工作。但是诺特一直没有在哥廷根大学获得应有的职位，只能在以希尔伯特名义开设的讲座中讲课，希尔伯特几次为她争取讲师的职位，但是，当时大学评议会里对妇女持歧视观点的人们却极力反对。直到第一次世界大战结束，德国成为共和国，诺特才当上讲师。

1919年至1922年，诺特潜心研究环中的理想论。当她开始工作时，环和理想的许多结果已经给出，但是，正是她赋予这些结果以适当的确切的表述，得到环和理想的抽象、系统的理论。诺特把多项式的理想论包括在一般理想论之中，为代数整数的理想论和代数整函数的理想论建立了共同的基础。1926年，她在环和理想方面深入的总结性的工作，基本完成。因此，一般将抽象代数的形成时间定为1926年。

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荷兰数学家范德瓦尔登(1905-)于1924年至1925年师从爱米.诺特。1927年，他极其成功地阐述了诺特的理论，对诺特的思想进行了透彻的解释，后来写成《近世代数学》一书，总结了以诺特为代表的哥廷根代数学派以及其他代数学家的成果。此书当时即风靡世界，至今仍被视为是抽象代数最好的入门书之一。

诺特以她在代数和数论方面的卓越成就，在数学界赢得很高的声誉。

1933年，作为犹太人的诺特和其他五位教授一起被纳粹当局点名离开哥廷根。她后来不得已而远渡重洋，去了美国，1935年因病逝世。爱因斯坦赞扬诺特说："诺特女士是自妇女受到高等教育以来，最重要的，最富于创造性的天才"。

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